بررسی رادیکال جیکوبسن حلقه هایی با عضوهای همگن پوچ توان

برگمن نشان داد که رادیکال جیکوبسن حلقه های مدرج (یا به طور کلی حلقه های مدرج)، همگن است. این پایان نامه اثبات می کند که نتیجه ی مشابه ای برای رادیکال پوچ برقرار است، یعنی رادیکال پوچ حلقه های ‎ مدرج نیز همگن است. به طور واضح زیر حلقه ای از حلقه ی پوچ، پوچ است اما به طور کلی نمی توان بیان کرد زیر حلقه ای از حلقه ی رادیکال جیکوبسن، رادیکال جیکوبسن است. در این پایان نامه نشان داده می شود که زیر حلقه ای از حلقه های مدرج که به وسیله ی عناصر همگن تولید شده است، حلقه ی رادیکال جیکوبسن می باشد. همچنین نتایج مهم دیگری نیز روی حلقه های پوچ-مدرج حاصل می گردد. نشان داده شده عناصر جبر های رادیکال جیکوبسن مدرج، همگن و پوچ توان هستند. اما بررسی این مطلب که نشان دهد ‎«‎آیا جبرهای مدرجی که همه ی عناصر همگن آن پوچ توان می باشند، رادیکال جیکوبسن هستند‎؟‎‎»‎ هنوز صورت نگرفته است. نتیجه ی زیر تعمیمی برای مقایسه ی این دو است. فرض کنید r ‎جبر مدرج تولید شده از درجه ی یک باشد. اگر برای هر‎ n ‎طبیعی، عناصر جبر ماتریس های ‎ n*n روی ‎ r ‎، همگن و پوچ توان باشند، آنگاه ‎ r ‎ رادیکال جیکوبسن است.